Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On considère les points : \(\text A(1~;~ 1~; -4)\) , \(\text B(2~; -1~; -3)\) , \(\text C(0~; ~1~; -1)\) et \(Ω(1~; ~1~;~2)\) .

1. Démontrer que les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) définissent un plan.

2. a. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}(1;1;1)\)  est normal au plan \((\text{ABC})\) .
    b. Justifier qu'une équation cartésienne du plan \((\text {ABC})\) est \(x + y + z + 2 = 0\) .

3. a. Justifier que le point \(Ω\) n'appartient pas au plan \((\text {ABC})\) .
    b. Déterminer les coordonnées du point \(\text H\) , projeté orthogonal du point \(Ω\) sur le plan \((\text {ABC})\) .

On admet que \(Ω\text H = 2 \sqrt 3\) .
On définit la sphère \(S\) de centre \(Ω\) et de rayon \(2\sqrt 3\) comme l'ensemble de tous les points \(\text M\) de l'espace tels que \(Ω\text M = 2 \sqrt 3\) .

4. Justifier, sans calcul, que tout point \(\text N\) du plan \(\mathrm{(ABC)}\) , distinct de \(\text H\) , n'appartient pas à la sphère \(S\) .

On dit qu'un plan \(P\) est tangent à la sphère \(S\) en un point \(\text K\) lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• \(\text K ∈ P ∩ S\)
  
• \((Ω\text K) ⊥ P\)
  

5. Soit le plan \(P\) d'équation cartésienne \(x + y - z - 6 = 0\) et le point \(\text K\) de coordonnées \(\text K(3~;~ 3~;~ 0)\) . Démontrer que le plan \(P\) est tangent à la sphère \(S\) au point \(\text K\) .

6. On admet que les plans \((\text {ABC})\) et \(P\) sont sécants selon une droite \(Δ\) . Déterminer une équation paramétrique de la droite \(Δ\) .